Квадраттық функция және оның графигі

<br />

Graphing Quadratics by PhET Interactive Simulations, University of Colorado Boulder, licensed under CC-BY-4.0 (https://phet.colorado.edu)

Мақсаты:

𝑦 =a(x-m)2 , 𝑦 =ax2+n, 𝑦 =a(x+m)2+n, 𝑎 ≠ 0 түрінің квадраттық функцияларының қасиеттерін білу және графиктерін салу;
түрдің квадраттық функциясының қасиеттерін білу және графигін салу 𝑦 = ax2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, 𝑎 ≠ 0;
берілген аргумент мәндері бойынша функция мәндерін табу және берілген функция мәндері бойынша аргумент мәнін табу

Бұл виртуалды жұмыс алгебра сабағында келесі тақырыптары бойынша пайдалануға арналған:

8 сынып. “Квадраттық функция және оның графигі”

Теориялық бөлім

𝑦 = ax2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, 𝑎 ≠ 0 түріндегі функция квадраттық функция деп аталады.

y=f(x)+m функциясының графигі y=f(x) функциясының графигін m оң сан болғанда OY осі бойынша m бірлікке жоғары, m теріс сан болғанда төмен жылжыту арқылы алынады.

y=f(x+n) функциясының графигін y=f(x) функциясының графигінен n оң сан болғанда OX осі бойынша n бірлікке солға, n теріс сан болғанда оңға жылжыту арқылы алуға болады.

y=f(x+n)+m функциясының графигін y=f(x) функциясының графигінен n оң сан болғанда Ox осі бойынша n бірлікке солға, n теріс сан болғанда оңға және Oy осі бойынша m бірлікке жоғары, m теріс сан болғанда төмен жылжыту арқылы алуға болады.

Квадрат теңдеудің стандартты формасы келесідей: ax2 + 𝑏𝑥 + 𝑐.

Квадрат теңдеудің шың формасы (a(x-h)2+k түрінде болады, мұндағы (a) параболаның жоғары немесе төмен қарайтынын анықтайтын тұрақты, ал ((h,k)) — параболаның төбесінің координаттары. Мысалы:

(2(x-7)2+3); шыңы (7, 3) нүктесінде.
(2(x+7)2-3); шыңы (-7, -3) нүктесінде.

Квадраттық функцияның графигі — парабола.

Парабола элементтері:

Параболаның бас нүктелері координаталары: xb=-b2a және yb=f(b2a).
Симметрия осі: Oy осіне параллель параболаның жоғарғы жағынан өтетін түзу.
Директриса: параболаның жоғарғы жағына қатысты симметрияның түзу, симметриялы осі.
Фокус: параболаның кез келген нүктесіне дейінгі қашықтық сол нүктеден директрисаға дейінгі қашықтыққа тең болатын нүкте.

Виртуалды эксперимент

Graphing Quadratics симуляторы оқушыларға квадраттық функцияның графигін зерттеуге мүмкіндік береді. Explore (Зерттеу) экранында оқушылар квадраттық функцияның әр мүшесінің парабола графигіне әсерін зерттеу үшін жүгірткілерді қолдана алады. Standard Form (Стандартты форма) экранында басты назар бас нүктеге, симметрия осіне аударылады. Оқушылар функцияны реттей алады, бірақ мәндер бүтін сандармен шектеледі. Vertex Form (Шың формасы) экранында оқушылар параболаның түрленуін зерттейді және парабола графигі мен квадраттық функция арасындағы байланысты анықтайды. Focus&Directrix (Фокус және директриса) экранында оқушылар параболаны шың мен фокус негізінде жасайды.

Жұмыс барысы:

Бөлім 1. Зерттеу бөлімі

1-қадам. Сізге 4 түрлі режим берілген: Explore, Standard Form, Vertex Form және Focus&Directrix. Explore режимін іске қосыңыз.

2-қадам. Сізге берілген:

OXY координаталық жазықтығы және парабола графигі (1);
Графиктің координатадағы нүктелердің (x,y) мәндерін көрсететін құралдар (2);
Көзді басу арқылы графикті экраннан көрсетпеуге болады (3);
𝑦 = ax2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 теңдеуі, a, 𝑏, 𝑐 мәндері және оларды өзгертуге арналған құрылғылар (4);
Фотоаппарат батырмасын басып графиктің түрін сақтап қалуға болады (5);
Өшіргіш батырмасын басу арқылы сақталып тұрған графикті өшіре аласыз (6);
Квадраттық мүшелер бөлімін ашсаңыз: 𝑦 = ax2, 𝑦 = 𝑏𝑥, 𝑦 = 𝑐 теңдеулері берілген. Оларғы құсбелгі қою арқылы координата жазықтығынан графиктерін көре аласыз. Теңдеу батырмасына құсбелгі қою арқылы сол графиктердің теңдеулерін көруге болады (7);
Қайта бастау батырмасы (8).

3-қадам. a=1 мәніне тең. Осы параметрді өзгертіп көріңіз. a мәнін арттырсаңыз, парабола арақашықтығы азаяды, кемітсеңіз арасы ұлғаятынын көресіз. Теріс мәнге өткенде график төменге қарайды.

4-қадам. b=0 мәніне тең. Осы параметрді өзгертіп көріңіз. 𝑏 мәнін арттырсаңыз, парабола координата бойымен солға жылжиды, кемітетін болсаңыз оңға жылжиды.

5-қадам. c=0 мәніне тең. Осы параметрді өзгертіп көріңіз. 𝑐 мәнін арттырсаңыз, парабола координата бойымен жоғарыға, кемітсеңіз төменге жылжиды.

6-қадам. a, 𝑏, 𝑐 мәндерін өзгерту арқылы түрлі теңдеулер құрып, графигін зерттеңіз. Фотоаппарат батырмасын басып графиктің түрлерін сақтап, зерттесеңіз болады.

7-қадам. Графиктің координатадағы нүктелердің (x,y) мәндерін көрсететін құралдармен параболаның нүктелерін зерттеп көріңіз.

8-қадам. Теңдеу бөлімін ашыңыз. 𝑦 = ax2, 𝑦 = 𝑏𝑥, 𝑦 = 𝑐 теңдеулерін қосыңыз және теңдеу батырмасын қосып көріңіз. Графиктегі өзгерістерді зерттеңіз.

Бөлім 2. Стандартты форма

9-қадам. Standard Form бөліміне өтіңіз. Сізге берілген:

OXY координаталық жазықтығы және парабола графигі;
Графиктің координатадағы нүктелердің (x,y) мәндерін көрсететін құралдар;
Көзді басу арқылы графикті экраннан көрсетпеуге болады;
𝑦 = ax2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 теңдеуі, a, 𝑏, 𝑐 мәндері және оларды өзгертуге арналған құрылғылар;
Фотоаппарат батырмасын басып графиктің түрін сақтап қалуға болады;
Өшіргіш батырмасын басу арқылы сақталып тұрған графикті өшіре аласыз;
Шың нүктесі, симметрия осі, түбірлер берілген. Оларғы құсбелгі қою арқылы координата жазықтығынан көре аласыз. Теңдеу батырмасына құсбелгі қою арқылы сол графиктердің теңдеулерін көруге болады. Координата батырмасы арқылы графиктің шың нүктесі, симметрия осі, түбірлердің (x,y) мәндерін көру аласыз;
Қайта бастау батырмасы.

10-қадам. a, 𝑏, 𝑐 мәндерін өзгерту арқылы түрлі теңдеулер құрып, графигін зерттеңіз. Бұл бөлімде коэффициенттер натурал сан түрінде берілген.

11-қадам. Графиктің координатадағы нүктелердің (x,y) мәндерін көрсететін құралдармен параболаның нүктелерін зерттеп көріңіз.

12-қадам. Шың нүктесі, симметрия осі, түбірлер және теңдеулер батырмаларын қосып көріңіз. Графиктегі өзгерістерді зерттеңіз.

Бөлім 3. Шың формасы

13-қадам. Vertex Form бөліміне өтіңіз. Сізге берілген:

OXY координаталық жазықтығы және парабола графигі;
Графиктің координатадағы нүктелердің (x,y) мәндерін көрсететін құралдар;
Көзді басу арқылы графикті экраннан көрсетпеуге болады;
𝑦 = (a(x-h)2+k теңдеуі, a, h,k мәндері және оларды өзгертуге арналған құрылғылар;
Фотоаппарат батырмасын басып графиктің түрін сақтап қалуға болады;
Өшіргіш батырмасын басу арқылы сақталып тұрған графикті өшіре аласыз;
Шың нүктесі, симметрия осі берілген. Оларғы құсбелгі қою арқылы координата жазықтығынан көре аласыз. Теңдеу батырмасына құсбелгі қою арқылы сол графиктердің теңдеулерін көруге болады. Координата батырмасы арқылы графиктің шың нүктесі мен симметрия осінің (x,y) мәндерін көру аласыз;
Қайта бастау батырмасы.

14-қадам. a, h,k мәндерін өзгерту арқылы түрлі теңдеулер құрып, графигін зерттеңіз. Бұл бөлімде коэффициенттер натурал сан түрінде берілген.

15-қадам. Графиктің координатадағы нүктелердің (x,y) мәндерін көрсететін құралдармен параболаның нүктелерін зерттеп көріңіз.

16-қадам. Шың нүктесі, симметрия осі және теңдеулер батырмаларын қосып көріңіз. Графиктегі өзгерістерді зерттеңіз.

Бөлім 4. Фокус және директриса бөлімі

17-қадам. Focus&Directrix бөліміне өтіңіз. Сізге берілген:

OXY координаталық жазықтығы және парабола графигі;
Графиктің координатадағы нүктелердің (x,y) мәндерін көрсететін құралдар;
Көзді басу арқылы графикті экраннан көрсетпеуге болады;
y=14p(x-h)2+k теңдеуі, p, h,k мәндері және оларды өзгертуге арналған құрылғылар;
Фотоаппарат батырмасын басып графиктің түрін сақтап қалуға болады;
Өшіргіш батырмасын басу арқылы сақталып тұрған графикті өшіре аласыз;
Шың нүктесі, фокус, директриса және парабола нүктесі берілген. Оларғы құсбелгі қою арқылы координата жазықтығынан көре аласыз. Теңдеу батырмасына құсбелгі қою арқылы сол графиктердің теңдеулерін көруге болады. Координата батырмасы арқылы графиктің шың нүктесі мен симметрия осінің (x,y) мәндерін көру аласыз;
Қайта бастау батырмасы.

18-қадам. p, h,k мәндерін өзгерту арқылы түрлі теңдеулер құрып, графигін зерттеңіз. Бұл бөлімде коэффициенттер натурал сан түрінде берілген.

19-қадам. Графиктің координатадағы нүктелердің (x,y) мәндерін көрсететін құралдармен параболаның нүктелерін зерттеп көріңіз.

20-қадам. Шың нүктесі, фокус, директриса, парабола нүктесі және теңдеулер батырмаларын қосып көріңіз. Графиктегі өзгерістерді зерттеңіз.

Қорытынды

Graphing Quadratics симуляторы оқушылардың квадраттық функциялардың графиктерін үйренудің құнды құралы болып табылады. Тренажер нүктелерді көрсету, теңдеулерді көрсету және графиктерді сақтау сияқты графиктерді үйренудің әртүрлі құралдарын ұсыну арқылы интерактивті әрі визуалды пайдалы болды.