𝑦 = ax2 функциясы. Оның қасиеттері және оның графигі

𝑦 = ax2 функциясы. Оның қасиеттері және оның графигі

Graphing Quadratics by PhET Interactive Simulations, University of Colorado Boulder, licensed under CC-BY-4.0 (https://phet.colorado.edu)

Мақсаты:

  • 𝑦 = ax2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, 𝑎 ≠ 0 квадраттық функциясының қасиеттерін білу және графигін салу; 
  • берілген аргумент мәндері бойынша функция мәндерін табу және берілген функция мәндері бойынша аргумент мәнін табу

Бұл виртуалды жұмыс алгебра сабағында келесі тақырыптары бойынша пайдалануға арналған:

  • 7 сынып. “𝑦 = ax2 түрінің функциялары, оның графиктері мен қасиеттері”

Теориялық бөлім

𝑦 = ax2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, 𝑎 ≠ 0 түріндегі функция квадраттық функция деп аталады. 

Квадраттық функцияның қасиеттері:

  • Анықтама аймағы: D(f)=R (барлық нақты сандар).
  • Мәндер жиыны: E(f)=R (барлық нақты сандар).

Паритет:

  • Егер a>0 болса, онда функция жұп болады.
  • Егер a<0 болса, онда функция тақ болады.

Өсу / кему:

  • Егер a>0 болса, онда функция (− ∞;-b2a) аралықта артады, (-b2a; ∞) аралықта азаяды 
  • Егер a<0 болса, онда функция (− ∞;-b2a) аралықта азаяды, (-b2a; ∞)  аралықта артады.

Квадраттық функцияның графигі — парабола.

Парабола элементтері:

  • Параболаның бас нүктелері координаталары: xb=-b2a және yb=f(b2a).
  • Симметрия осі: Oy осіне параллель параболаның жоғарғы жағынан өтетін түзу.

Виртуалды эксперимент

Graphing Quadratics симуляторы оқушыларға квадраттық функцияның графигін зерттеуге мүмкіндік береді.  Explore (Зерттеу) экранында оқушылар квадраттық функцияның әр мүшесінің парабола графигіне әсерін зерттеу үшін жүгірткілерді қолдана алады. Standard Form (Стандартты форма) экранында басты назар бас нүктеге, симметрия осіне аударылады. 

Жұмыс барысы:

Бөлім 1. Зерттеу бөлімі

1-қадам. Сізге 4 түрлі режим берілген: Explore, Standard Form, Vertex Form және Focus&Directrix. Бұл жұмыста алғашқы екі режиммен жұмыс жасайтын боласыздар. Explore режимін іске қосыңыз.

2-қадам. Сізге берілген: 

  • OXY координаталық жазықтығы және парабола графигі (1);
  • Графиктің координатадағы нүктелердің (x,y) мәндерін көрсететін құралдар (2);
  • Көзді басу арқылы графикті экраннан көрсетпеуге болады (3);
  • 𝑦 = ax2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 теңдеуі, a, 𝑏, 𝑐 мәндері және оларды өзгертуге арналған құрылғылар (4);
  • Фотоаппарат батырмасын басып графиктің түрін сақтап қалуға болады (5); 
  • Өшіргіш батырмасын басу арқылы сақталып тұрған графикті өшіре аласыз (6);
  • Квадраттық мүшелер бөлімін ашсаңыз: 𝑦 = ax2, 𝑦 = 𝑏𝑥, 𝑦 = 𝑐 теңдеулері берілген. Оларғы құсбелгі қою арқылы координата жазықтығынан графиктерін көре аласыз. Теңдеу батырмасына құсбелгі қою арқылы сол графиктердің теңдеулерін көруге болады (7);
  • Қайта бастау батырмасы (8). 

3-қадам. a=1. Осы параметрді өзгертіп көріңіз. a мәнін арттырсаңыз, парабола арақашықтығы азаяды, кемітсеңіз арасы ұлғаятынын көресіз. Теріс мәнге өткенде график төменге қарайды.

4-қадам. b=0 мәніне тең. Осы параметрді өзгертіп көріңіз. 𝑏 мәнін арттырсаңыз, парабола координата бойымен солға жылжиды, кемітетін болсаңыз оңға жылжиды.

5-қадам. c=0 мәніне тең. Осы параметрді өзгертіп көріңіз. 𝑐 мәнін арттырсаңыз, парабола координата бойымен жоғарыға, кемітсеңіз төменге жылжиды.

6-қадам. a, 𝑏, 𝑐 мәндерін өзгерту арқылы түрлі теңдеулер құрып, графигін зерттеңіз. Фотоаппарат батырмасын басып графиктің түрлерін сақтап, зерттесеңіз болады. 

7-қадам. Графиктің координатадағы нүктелердің (x,y) мәндерін көрсететін құралдармен параболаның нүктелерін зерттеп көріңіз.

8-қадам. Теңдеу бөлімін ашыңыз. 𝑦 = ax2, 𝑦 = 𝑏𝑥, 𝑦 = 𝑐 теңдеулерін қосыңыз және теңдеу батырмасын қосып көріңіз. Графиктегі өзгерістерді зерттеңіз.

Бөлім 2. Стандартты форма

9-қадам. Standard Form бөліміне өтіңіз. Сізге берілген: 

  • OXY координаталық жазықтығы және парабола графигі;
  • Графиктің координатадағы нүктелердің (x,y) мәндерін көрсететін құралдар;
  • Көзді басу арқылы графикті экраннан көрсетпеуге болады;
  • 𝑦 = ax2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 теңдеуі, a, 𝑏, 𝑐 мәндері және оларды өзгертуге арналған құрылғылар;
  • Фотоаппарат батырмасын басып графиктің түрін сақтап қалуға болады; 
  • Өшіргіш батырмасын басу арқылы сақталып тұрған графикті өшіре аласыз;
  • Шың нүктесі, симметрия осі, түбірлер берілген. Оларғы құсбелгі қою арқылы координата жазықтығынан көре аласыз. Теңдеу батырмасына құсбелгі қою арқылы сол графиктердің теңдеулерін көруге болады. Координата батырмасы арқылы графиктің шың нүктесі, симметрия осі, түбірлердің (x,y) мәндерін көру аласыз;
  • Қайта бастау батырмасы.  

10-қадам. a=1 мәніне тең. Осы параметрді өзгертіп көріңіз. Графиктегі өзгерістерді зерттеңіз.  Бұл бөлімде коэффициенттер натурал сан түрінде берілген. 

11-қадам. 𝑏, 𝑐 мәндерін өзгерту арқылы түрлі теңдеулер құрып, графигін зерттеңіз.

12-қадам. Графиктің координатадағы нүктелердің (x,y) мәндерін көрсететін құралдармен параболаның нүктелерін зерттеп көріңіз.

13-қадам. Шың нүктесін, симметрия осі және түбірлерді белгілеу арқылы графиктің  координаталарын зерттеңіз.

14-қадам. Теңдеулер батырмаларын қосып көріңіз. Графиктердің жанына графикке тиесілі теңдеулеп пайда болады. 

15-қадам. Теңдеудегі деректерді өзгерту арқылы түрлі зерттеулер жүргізіңіз. 

Қорытынды

Graphing Quadratics симуляторы оқушылардың квадраттық функциялардың графиктерін үйренудің құнды құралы болып табылады. Тренажер нүктелерді көрсету, теңдеулерді көрсету және графиктерді сақтау сияқты графиктерді үйренудің әртүрлі құралдарын ұсыну арқылы интерактивті әрі визуалды пайдалы болды.