2-урок
Графическое изображение двух переменных неравенств
Напомните учащимся, что графики — это наглядный способ отобразить все решения определенного уравнения или неравенства. Например, уравнение первой степени с двумя переменными даст линейный график, потому что есть бесконечные решения, которые все случайно отображаются в прямую линию на координатной плоскости. Любая координата, которая не попадает в эту линию, не является допустимым решением.
Имея это в виду, как бы выглядел график неравенства с двумя переменными? Вы можете разделить класс на группы и задать для каждой группы одно ограничение на прозрачность служебных данных, которое будет совместно использоваться с остальной частью класса. Согласуйте шкалу для каждой оси, которую весь класс будет использовать, прежде чем назначать группам ограничение, и дайте каждой группе ручку разного цвета для создания своего графика.
Студенты обнаружат, что вместо линии они создают заштрихованную полуплоскость. Плоскость разрезается линией границы, созданной назначенным им ограничением. Подчеркните, что любая точка в заштрихованной области удовлетворяет ограничению, а любая точка за пределами области — нет. Кроме того, точки на самой граничной линии также удовлетворяют ограничению из-за способа написания неравенства, поэтому оно представлено сплошной линией вместо пунктирной.
Описание возможной области
Если класс создал свои графики на прозрачных пленках, спроецируйте графики для класса и проверьте наличие ошибок. Затем поместите все графики друг на друга, чтобы увидеть, где области перекрываются. Попросите учеников объяснить значение этой пересекающейся области. Ученики должны понять, что эта область определяет набор всех возможных решений, которые одновременно удовлетворяют всем ограничениям.
Попросите группы создать свои собственные копии возможной области на миллиметровой бумаге.
Ученики могут предположить, что если допустимая область была бы ограничена исключительными неравенствами, а не инклюзивными, лучшим решением была бы точка, ближайшая к углу, который был бы оптимальным ответом, если бы она была частью допустимой области. Однако это не всегда так, и поиск решений в подобных ситуациях требует более сложных математических расчетов.
Оптимизация
Теперь, когда класс создал допустимую область, какой выбор в этой области займет меньше всего времени? Здесь используется последний пункт № 5 на первой странице рабочего листа. Попросите учащихся написать выражение, описывающее количество времени, необходимое для производства определенной комбинации интраназальной и инъекционной вакцины.
Выражение:
43N + 50I = время производства
Любой выбор производства в допустимой области будет удовлетворять всем ограничениям, но только один вариант (в данном случае) удовлетворит все ограничения за наименьшее время производства. Класс может потратить время на включение всех возможных производственных комбинаций в приведенную выше формулу «Время производства», чтобы найти лучшее решение, но, конечно, есть более простой и быстрый метод.
Полезно понимать поведение функции производственного времени при увеличении разрешенного времени. Попросите учащихся изобразить уравнение, которое дает выбор производства, если у завода есть только 100 часов на изготовление вакцины от гриппа. Затем увеличьте разрешенное время до 500 часов, затем 750 часов, затем 1000 часов и т. Д. По мере увеличения разрешенного времени попросите класс понаблюдать, что происходит с графиком. Учащиеся должны заметить, что наклон линий, которые они рисуют, остается прежним, но сама линия смещается «наружу», чтобы соответствовать увеличению производственной мощности, которое позволяет больше времени. Другими словами, когда вы изменяете уравнение для увеличения допустимого количества времени, образуются параллельные линии, которые постепенно удаляются от начала координат.
Эта ситуация требует поиска наименьшего возможного количества производственного времени, поэтому учащиеся должны понимать, что они хотели бы, чтобы их уравнение производственного времени было как можно ближе к исходной точке, но при этом включало хотя бы одну точку в допустимой области. Попросите учащихся решить, какое производственное решение является лучшим. Может быть полезно использовать линейку или кусок спагетти, чтобы представить уравнение оптимизации, которое можно сдвинуть или убрать. Учащиеся могут перемещать линейку по направлению к началу координат, пока она не достигнет последней возможной точки возможной области, нижнего угла.
Решение систем уравнений
Класс концептуально нашел решение проблемы, но теперь должен вычислить точный ответ. Каковы координаты оптимального решения? Полезно знать углы возможной области, чтобы иметь точное описание ее формы. Надеюсь, класс выбрал масштаб для осей x и y, который не делает очевидными координаты углов. Покажите классу, что углы допустимой области являются просто пересечениями двух ограничений и, следовательно, могут быть найдены путем решения системы двух одновременных уравнений. Предоставьте инструкции по алгебраическому решению систем уравнений, позволяя группам решать для каждого из четырех углов допустимой области.
Для удобства углы допустимой области: (150 000, 400 000), (371 439, 400 000), (600 000, 200 000) и (412 500, 137 500). Оптимальным решением является производство 412 500 инъекционных вакцин и 137 500 интраназальных вакцин.
Обсуждение
Попросите класс согласовать наилучшее производственное решение для фармацевтического завода. Скажите студентам, что такие важные решения должны быть задокументированы для дальнейшего использования, и попросите их представить краткое обоснование своего окончательного решения, резюмируя логику своего процесса принятия решений.
Работа на дом
Создайте командами аналогичную ситуацию, но со своими требованиями и условиями касательно времени на производства вакцины и количества, и возможно другой болезнью. На следующем уроке вы дадите свое задание другой команде и сами получите от них их задание.